La Línea Recta
Alumno.Edgar manuel resendiz gil
Num.37
Profa.martha reyna martinez
Centro de estudios tecnológicos industriales y de servicios cetis #71
Materia:geometria analatica
12/10/12
PENDIENTE Y ANGULO DE INCLINACION
Consideramos
como (ángulo de inclinación) a aquel ángulo que se pueda presentar
entre un segmento plano (Horizonte) y otro segmento distante.
Por ejemplo:
Dicha
noción representa una pieza crucial, para algunas condiciones que se
puedan presentar en un fenómenos naturales o producidos. Tal es el caso
de la construcción de un puente que disponga de múltiples vías. Es necesario conocer la pendiente de una vía con respecto a otra para evitar una mala construcción del mismo.
Esta
misma analogía podría ser ubicada en la comodidad del hogar, en las
esquinas de las habitaciones. Si suponemos querer tener una habitación
en la que la edificación de los cuartos cuadre es necesario, de cierta
manera conocer a que ángulos inclinación estan dictadas las paredes.
Pues podría generarse una situación de una mala edificiación lo cual repercutiría en unos cuartos mal construidos. Todo estos detalles muy importantes para poder llevar un trabajo adelante.
Es por ello, que dicha noción debe ser tomada con seriedad pues uno nunca se imagina en la situación que podría ser útil.
La
determinación del (ángulo de inclinación) ya en términos de su valor,
es realizado bajo el contexto de la trigonometría por medio de la
(Tangente y su función inversa) o bien a través del analísis vectorial..
Ambos caminos conduciendonos al mismo resultado.
En
esta ocasión nos limitaremos al (Caso de la trigonometría), pues el
otro caso sugiere concepciones de otros objetos aún no presentados o
conocidos por muchas personas. Motivo por el cual se toma la consideración anterior.
Ahora
bién, supongamos que tenemos un segmento (Horizonte) cuya longitud es
de 2 metros y poseemos una altura de 4 metros del segmento (Horizonte) a
el segmento distante y no conocemos la longitud del (Segmento
distante).
Y
por supuesto deseamos conocer el (valor del ángulo) comprendido entre
estos 2 segmentos.. Entonces tendríamos una escenario similar a éste:
Para
ello empleamos un poco de trigonometría utilizando la razón (Tangente)
seguido de la ejecución de la función (Tangente inversa) para determinar
el correspondiente ángulo, como se muestra en la imagen.
Suponiendo
que podemos referenciar un marco, donde es posible establecer la
distancia entre un segmento u otro.. Y que por extraña razón no
conocemos el valor de un segmento, lo cual fuera ilógico deduciendo que pudimos establecer una altura..
Y
por consiguiente debemos conocer la longitud del (segmento distante) ya
que de no ser así no hubiera sido posible deducir un punto de donde
fijar la altura que contemplamos.
Todo
ello por supuesto considerando que el entorno, genera los elementos
necesarios para la utilización de las razones trigonometrícas osea
exista un triángulo rectángulo en él. Ya
que de lo contrario sería necesario aplicar algunas leyes como: (Ley de
los cosenos o ley de los senos) para conocer ello, ya que serían otra
clase de triángulo.
Por
el camino del (Analísis vectorial) se sugiere además de la noción de
razones trigonometrícas, el conocimiento de la ubicación de los vectores
dentro del marco de un (Sistema de coordenadas)..
En
lo que ha (Pendiente de una recta) se refiere, consideramos como
(Pendiente) aquella magnitud que expresa la variación o crecimiento de
un objeto con respecto a sí mismo, por ejemplo: El caso de la recta,
indica el crecimiento de la misma al cabo del paso de una unidad.
Sirviendo dicho hecho como una base para la construcción de algunos
otros objetos más complejos.
Como se muestra, en la imagen:
Esta noción es la asociación común de la razón trigonometríca (Tangente) a un ámbito de continuidad.
La
determinación en el caso de la recta unicamente consiste en tomar dos
coordenadas de la recta evaluarlas de acuerdo al cociente indicado en la
imagen y listo!, Constatando que en una recta la pendiente siempre es
constante por lo tanto no implica un reto de determinación, pero la
pendiente de una curva no es del todo sencilla de determina.
Condiciones de paralelismo y perpendicularidad
Paralelismo
y perdendicularidad, son dos factores que dentro de cualquier aspecto
de la matemática son importantes.. No solo en ésta, en contextos más
sociales también ya que son el reflejo de ciertos factores en la
naturaleza.
Por ejemplo, consideramos
como (Paralelismo) aquella relación que establece que un objeto
geométrico lineal con perspectiva dimensional (Unidimensional o mayor)
no se intersecta con otro objeto del mismo estilo.
Ejemplos:
- Percepción (Bidimensional).
- Percepción (Tridimensional).
Dicho signo (||) es un denotador del paralelismo.
El
rigor del significado de (Paralelismo) toma diferentes sentidos de
acuerdo al área por donde se aborde, ya que existen casos que es
meramente abstracto su concepción como es el caso de la (Geometría afín)
que emplea una noción más avanzada de lo que se conoce como: Espacios vectoriales.
La
comprobabilidad si ciertos objetos matemáticos son paralelos, esta
sujeta a una serie de condiciones a cumplir, en algunos textos son
citados como (Teoremas del paralelismo).
- Dos
rectas no verticales (L1 y L2) son paralelas sí y solo sí sus
correspondiente pendientes (m1 y m2) lo son también. (En caso 2D)
- Si una recta corta a otra recta, entonces corta a todas las parelelas de esta (en un plano).
- En un plano, dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas entre sí.
Por el contrario, consideramos como (Perpendicularidad) aquella relación opuesta al (Paralelismo) de tal manera que los objetos geométricos si se intersectan entre sí, formando un ángulo de (90 grados sexagesimales).
- Si una recta corta a otra recta, entonces corta a todas las parelelas de esta (en un plano).
- En un plano, dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas entre sí.
Por el contrario, consideramos como (Perpendicularidad) aquella relación opuesta al (Paralelismo) de tal manera que los objetos geométricos si se intersectan entre sí, formando un ángulo de (90 grados sexagesimales).
Ejemplos:
- Percepción (Bidimensional).
- Percepción (Tridimensional).
De
igual manera la comprobabilidad si ciertos objetos matemáticos son
perpendiculares, esta sujeta a una cierta condición que es generalizada a
otros aspectos geométricos en la consolidación de la (Ortogonalidad).
- Dos
rectas no verticales (L1 y L2) son perpendiculares sí y solo sí si sus
pendientes (m1 y m2) son recíprocas en cuestión de su signo. (En caso
2D)
La perpendicularidad se puede presentar en: Rectas, Semirectas, Planos, Semiplanos… Ya que (Semirectas y Semiplanos) son conceptos implícitos dentro del margen de (Rectas y Planos).
La perpendicularidad se puede presentar en: Rectas, Semirectas, Planos, Semiplanos… Ya que (Semirectas y Semiplanos) son conceptos implícitos dentro del margen de (Rectas y Planos).
La
demostración de las condiciones anteriores, sugiere una construcción
geométrica. Aunque existen otros métodos analíticos que cumplirían con
el mismo propósito como en el (álgebra vectorial) es posible observar,
pero el método clásico es a base de la (Geometría plana más precisamente
los postulados de Euclides).
determinacion de la ecuacion de la recta
En
un plano, podemos representar una recta mediante una ecuación, y
determinar los valores que cumplan determinadas condiciones, por
ejemplo, las de un problema de geometría.
Ecuación de la recta
|
La ecuación explícita de una recta tiene la forma y=mx+n
donde m es la pendiente de la recta y n el término independiente. En el
siguiente ejercicio te proponemos, que bien conociendo la pendiente m y
un punto P por el que pasa determines m y n, o bien conociendo dos
puntos determinar m y n. Recuerda que si tienes dos puntos puedes
sustituirlos en la ecuación y plantear un sistema con dos ecuaciones y
dos incógnitas (m y n).
Distintas formas de la ecuacion de la recta
En una recta, la pendiente
|
Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente (ecuación punto-pendiente):
Esta
forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se
conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos, o cuando se
conocen sólo los dos puntos, por lo que también se le llama ecuación de
la recta conocidos dos puntos, y se le debe a Jean Baptiste Biot. La pendiente es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje de abscisas X.
La ecuación de la recta que pasa por el punto y tiene la pendiente dada es:
La ecuación de la recta que pasa por el punto y tiene la pendiente dada es:
Ejemplo
La ecuación de la recta que pasa por el punto A y que tiene una pendiente de .
Al sustituir los datos en la ecuación, resulta lo siguiente;
Al sustituir los datos en la ecuación, resulta lo siguiente;
Ecuación de la recta en forma normal
Ecuación normal de la recta (Primera forma; Ecuación de Hesse)
Si se conoce la pendiente M, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b), podemos deducir, partiendo de la ecuación general de la recta, :
Esta es la segunda forma de la ecuación de la recta y se utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos . También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada.
Forma segmentaria de la ecuación de la recta (Ecuación simétrica)
Así como a la ordenada al origen se le puede llamar , a la abscisa al origen se le puede llamar . Si se plantea como problema encontrar la ecuación de una recta, conocidos y (la abscisa y ordenada al origen), se conocen dos puntos de la recta los cuales son los siguientes:
y
|
Con estos puntos se puede encontrar dicha ecuación, pero primero se debe calcular la pendiente:
Después se sustituye en la ecuación , usando cualquiera de los dos puntos, en este caso (a, 0):
Por último se tiene que dividir toda la ecuación entre el término independiente :
Se
obtiene la ecuación de la recta en su forma simétrica. Esta ecuación se
suele utilizar para obtener la ecuación de una recta de la que se
conocen sus intersecciones con los ejes y cuando, a partir de la
ecuación de una recta, se desean conocer los puntos donde dicha recta
interseca a los ejes.
Ecuación de la recta en la forma normal
Ludwig Otto Hesse(1811-1874, matemático alemán, profesor en la Universidad deHeidelberg y en la Universidad Técnica de Múnich.)
Esta es la forma normal de la recta:
Esta es la forma normal de la recta:
Siendo d el valor de la distancia entre la recta y el origen de coordenadas. El ángulo omega ω es el ángulo formado entre la recta y el eje de las ordenadas.
Donde x que es una constante que nos ayudará a obtener la forma normal, la cual se puede obtener de la forma general de la recta.
Extrayendo la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de B X A. Como sigue:
Con el número x podemos obtener a y a de la misma ecuación general de la recta, dividiendo a A y B entre k y para calcular d dividimos a C entre k.
Debemos tener cuidado al calcular C, por que C=-kd, entonces si C>0 (es positiva) tomaremos el valor negativo de k (y será el mismo todas las veces que usemos a k en la misma ecuación), cuando C<0 (es negativa) usaremos el valor positivo de k.[3]
Ecuación normal de la recta (Segunda forma)
Ecuación normal de la recta (Segunda forma)
Forma polar de la ecuación de la recta
Se le llama ecuación polar a la ecuación que define una curva expresada en coordenadas polares. En muchos casos se puede especificar tal ecuación definiendo como una función de θ. La curva resultante consiste en una serie de puntos en la forma (
(θ), θ) y se puede representar como la gráfica de una función .Se pueden deducir diferentes formas de simetría de la ecuación de una función polar . Si (−θ) = (θ) la curva será simétrica respecto al eje horizontal (0°/180°), si (180°−θ) = (θ) será simétrica respecto al eje vertical (90°/ 270°), y si (θ−α°) = (θ) será simétrico rotacionalmente α° en sentido horario respecto al polo.
Debido a la naturaleza circular del sistema de coordenadas polar, muchas curvas se pueden describir con una simple ecuación polar, mientras que en su forma cartesiana sería mucho más intrincado. Algunas de las curvas más conocidas son la rosa polar, la espiral de Arquímedes, la lemniscata, el caracol de Pascal y la cardioide.
Para los apartados siguientes se entiende que el círculo, la línea y la rosa polar no tienen restricciones en el dominio y rango de la curva.
Circunferencia
Un círculo con ecuación (θ) = 1.
La ecuación general para una circunferencia con centro en (
0, φ) y radio es
En
ciertos casos específicos, la ecuación anterior se puede simplificar.
Por ejemplo, para una circunferencia con centro en el polo y radio a, se obtiene:[8]
Línea
Las líneas radiales (aquellas que atraviesan el polo) se representan mediante la ecuación
donde φ es el ángulo de elevación de la línea, esto es, φ = arctan
donde es la pendiente de la línea en el sistema de coordenadas cartesianas. La línea no radial que cruza la línea radial θ = φ perpendicularmente al punto ( 0, φ) tiene la ecuaciónRosa polar
Una rosa polar con ecuación (θ) = 2 sin 4θ.
La rosa polar es una famosa curva matemática que parece una flor con pétalos, y puede expresarse como una ecuación polar simple,
para cualquier constante (incluyendo al 0). Si k es un número entero, estas ecuaciones representan una rosa de k pétalos cuando k es impar, o 2k pétalos si k es par. Si k
es racional pero no entero, la gráfica es similar a una rosa pero con
los pétalos solapados. Nótese que estas ecuaciones nunca definen una
rosa con 2, 6, 10, 14, etc. pétalos. La variable a representa la longitud de los pétalos de la rosa.
Si tomamos sólo valores positivos para r y valores en el intervalo para , la gráfica de la ecuación:
Si tomamos sólo valores positivos para r y valores en el intervalo para , la gráfica de la ecuación:
es una rosa de k pétalos, para cualquier número natural . Y si , la gráfica es una circunferencia de radio
....
Angulo de inteseccion entre dos rectas
Sean b y b’ las rectas que determinan las bisectrices de los ángulos que se forman en P.
En
geometría plana se demuestra que b y b’ son perpendiculares y que
además todo punto sobre la bisectriz de un ángulo equidista de los lados
del ángulo. (fig. 4.17)
Sea entonces P(x, y) un punto cualquiera de las bisectrices b o b’.
De acuerdo a lo anterior, d(P, l) = d(P, r).
Esto es,
(1)
Equivalentemente,
(2) ó
(3)
(Recuérdese que
|
Las igualdades (2) y (3) proporcionan entonces las ecuaciones de las bisectrices b y b’ de los ángulos que forman las rectas l y r.
Se puede demostrar fácilmente y lo dejamos como ejercicio para el
lector, que dichas rectas son perpendiculares usando el concepto de
pendiente.
....
Familias de rectas
Al fijar solamente m, la ecuación (1) contiene únicamente un parámetro b y representa una familia de rectas paralelas de pendiente m. (fig. 4.19 (a)).
Ahora,
si fijamos b (intercepto con el eje y), la ecuación y = mx + b
representa una familia de rectas que pasan por el punto B(0, b) (fig.
4.19.(b)).
Asi, por ejemplo, la ecuación de la familia de rectas de pendiente 2 es: y = 2x + b, b ÎR .
El parámetro b es el intercepto de cada una de las rectas de la familia con el eje y.
Igualmente la ecuación de la familia de rectas que pasan por el punto B(0, 2) es y = mx + 2, mÎR.
Ahora, el parámetro m es la pendiente de cada una de las rectas de la familia.
Observación:
En
algunos problemas se puede utilizar la ecuación de una familia de
rectas para obtener la ecuación de una recta de la familia que satisface
una cierta propiedad adicional.
Asi
por ejemplo, si se desea encontrar la ecuación de la recta que pasa por
el punto P(1, -3) y es paralela a las rectas de la familia 3x + y – k =
0 se procede asi:
1. Se obtiene la ecuación de la familia de rectas de la que hace parte la linea que se pide.
Como la familia es paralela a la recta y = -3x + k, la pendiente de las rectas de la familia es –3. Luego, y = -3x + b, b ÎR es la ecuación de las rectas de la familia.
2. La recta buscada de la familia es la recta que pasa por el punto P(1, -3). Luego, su
intercepto b con el eje y es: -3 = -3(1) + b, de donde b = 0. Asi que la recta pedida es y = -3x.
Familia de rectas que pasan por el punto de intersección de dos rectas dadas no paralelas.
Sean l y r dos rectas dadas no paralelas y de ecuaciones A1x + B1y + C1 = 0 y A2x + B2y + C2 = 0 respectivamente.
Entonces, para todo k ÎR , la expresión:
A1x + B1y + C1 + k(A2x + B2y + C2) = 0 (1)
representa una recta (diferente de r) que pasa por el punto de intersección P(xo, yo) de las rectas l y r.
Nótese que cuando k = 0, obtenemos la ecuación de la recta l.
Para demostrar la afirmación que indica la igualdad (1), se toma un número real k fijo y se escribe (1) en la forma:
(A1 + kA2)x + (B1 + kB2)y + (C1 + kC2) = 0 (2)
que es la forma general de la ecuación de una recta.
Nótese que ambos coeficientes (A1 + kA2) y (B1 + kB2) no pueden ser cero, porque de ser asi, se tendría:
, lo cual es contradictorio puesto que las rectas l y r no son paralelas.
Tómese ahora, ko fijo, ko ÎR y considere la recta de ecuación:
(A1 + koA2)x + (B1 + koB2)y + (C1 + koC2) = 0 (3)
Ahora,
(A1 + koA2)xo + (B1 + koB2)yo + (C1 + koC2) =
(A1xo + B1yo +C1) + ko(A2xo + B2yo +C2) (4)
Pero como P(xo, yo) es el punto de intersección de l y r, satisface entonces sus ecuaciones. Esto es,
A1xo + B1yo +C1 = 0 y A2xo + B2yo +C2 = 0.
En consecuencia (4) se transforma en :
(A1 + koA2)xo + (B1 + koB2)yo + (C1 + koC2) = 0 lo que indica que el punto P(xo, yo) está sobre la recta cuya ecuación es (3).
Se ha demostrado asi que la ecuación de la familia de rectas que pasan por el punto de intersección de:
A1x + B1y+C1 = 0 y A2x + B2y+ C2 = 0 es:
A1x + B1y+C1 + k(A2x + B2y+ C2) = 0, k ÎR .
Para hallar la ecuación de una recta n que pase por el punto de intersección de otras dos rectas dadas l y r, se escribe la ecuación de la familia de rectas que pasan por el punto de intersección de l y r y se utiliza la información adicional sobre n para hallar el valor del parámetro k.
|
Aplicacion de la Forma Normal de la Ecuacion de la Recta
La ecuación de la recta tiene 3 formas, dependiendo de los datos que tengas.
-Si tienes dos puntos, la ecuación es y - y1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) (x - x1)
-Si tienes un punto y conoces la pendiente la ecuación es: y - y1 = m (x - x1) donde m es la pendiente.
-Si conoces la pendiente y el punto en que esta corta al eje "y" la ecuación es y = mx + b donde b es es el valor de "y" y "m" es la pendiente
-Si conoces la pendiente y el punto en que esta corta al eje "y" la ecuación es y = mx + b donde b es es el valor de "y" y "m" es la pendiente
Cuáles son las Rectas y los puntos notables del triángulo
Medianas y Baricentro
Se
llama mediana a la recta que une un vértice con la mitad del lado
opuesto. En un triángulo ABC, las tres medianas se cruzan en un punto G
llamado Baricentro que es el centro de gravedad del triángulo. Cada
mediana divide al triángulo en dos triángulos de igual área. Además el
Baricentro dista doble del vértice que del punto medio del lado.
Mediatrices y Circuncentro
La
mediatriz de un segmento es la recta perpendicular en su punto medio.
Las mediatrices de un triángulo son las mediatrices de sus lados. El
punto O donde se cortan las tres mediatrices se llama Circuncentro y
equidista, es decir, está la misma distancia de los tres vértices A, B y
C, es por eso que pertenece a las tres mediatrices. La circunferencia
que pasa por los tres vértices se llama Circunferencia Circunscrita.
Alturas y Ortocentro
ALTURAS:
se llama altura en un triángulo a la perpendicular trazada desde un
vértice al lado opuesto. En un triángulo ABC, las tres alturas se cruzan
en un punto llamado Ortocentro. Se puede ver que si trazamos por cada
vértice una paralela al lado opuesto se obtiene otro triángulo cuyas
mediatrices son justamente las alturas del triángulo primitivo.
Recta de Euler
El
baricentro de un triángulo está alineado con el ortocentro y el
circuncentro, y a doble distancia del primero que del segundo. La recta
que contiene a estos tres puntos se llama Recta de Euler.
Bisectrices e Incentro
Se
llama bisectriz a la recta que divide un ángulo en dos partes iguales.
Las bisectrices de un triángulo son las bisectrices de sus ángulos. El
punto I donde se cortan las tres bisectrices interiores se llama
Incentro, equidista de los tres lados y por eso podemos construir una
circunferencia de centro I tangente a los lados del triángulo. Dicha
circunferencia se llama Circunferencia Inscrita y es la circuferencia
más "grande" que se puede definir completamente contenida dentro del
triángulo.
Consecuencias de estas construcciones:
CIRCUNFERENCIA
EXINSCRITA: el incentro de un triángulo es el único punto interior que
equidista de las rectas de los lados, pero existen también puntos
exteriores que tienen la misma propiedad y se llaman Exincentros. Dichos
Exincentros se forman en los puntos de intersección de las bisectrices
exteriores del triángulo.
TRIÁNGULO ÓRTICO: recíprocamente, las alturas de todo triángulo (acutángulo) son bisectrices interiores del triángulo cuyos vértices son los pies de sus alturas. Este triángulo se llama Triángulo Órtico. Como consecuencia se desprende que los lados de un triángulo acutángulo son las bisectrices exteriores de su triángulo órtico y que los vértices de un triángulo son los exicentros de su triángulo órtico.
CIRCUNFERENCIA DE FEUERBACH: Dado un triángulo cualquiera, no rectángulo, aplicando las propiedades del triángulo órtico se obtiene que la circunferencia que pasa por los pies de las alturas de un triángulo contiene los puntos medios de sus lados, así como los puntos medios de los segmentos de altura comprendidos entre cada vértice y el ortocentro. Esta circunferencia se llama Circunferencia de los nueve puntos o de Feuerbach, también de Euler.
TRIÁNGULO ÓRTICO: recíprocamente, las alturas de todo triángulo (acutángulo) son bisectrices interiores del triángulo cuyos vértices son los pies de sus alturas. Este triángulo se llama Triángulo Órtico. Como consecuencia se desprende que los lados de un triángulo acutángulo son las bisectrices exteriores de su triángulo órtico y que los vértices de un triángulo son los exicentros de su triángulo órtico.
CIRCUNFERENCIA DE FEUERBACH: Dado un triángulo cualquiera, no rectángulo, aplicando las propiedades del triángulo órtico se obtiene que la circunferencia que pasa por los pies de las alturas de un triángulo contiene los puntos medios de sus lados, así como los puntos medios de los segmentos de altura comprendidos entre cada vértice y el ortocentro. Esta circunferencia se llama Circunferencia de los nueve puntos o de Feuerbach, también de Euler.
Bibliografía.
3. ↑ Wooton, William. Geometría Analítica Moderna. México 1979. P.p. 90
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